Von Primzahlen und Jahreszahlen - Lösung der „Hausaufgabe“ aus dem Gemeindeblatt 12/2023

Die im letzten Gemeindeblatt des Jahres 2023 auf Seite 10 veröffentlichte Rechenaufgabe wird wie angekündigt in der Januarausgabe aufgelöst. Dort gibt es jedoch nur eine Kurzfassung. Eine etwas umfangreichere Erklärung wird nachfolgend gegeben. 
Für diejenigen, die die Aufgabe übersehen haben oder die schlicht keine Lust zum Rechnen während der Feiertage hatten, sei noch einmal die Aufgabenstellung genannt. Gesucht wurden alle Teiler der neuen Jahreszahl 2024 und die Anzahl dieser Teiler.
Erlauben Sie mir noch eine Vorbemerkung. Vergessen Sie mal für kurze Zeit, was Sie ab Klasse 5 über Zahlen gelernt haben. Denken Sie nur mit natürlichen Zahlen wie ein Grundschüler. Gebrochene Zahlen, rationale oder gar irrationale kennen Sie gar nicht. Vermutlich denkt der eine oder andere, das fiele ihm nicht schwer. Aber warten wir ab!

Unter den natürlichen Zahlen, also 0, 1, 2, 3, 4 usw., gibt es eine besondere Gruppe, die Primzahlen. Das sind solche, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Eine Primzahl ist beispielsweise die 11. Die 11 kann weder durch 2 oder 3 noch durch 4 oder 5 und auch nicht durch 6 oder gar noch größere Zahlen ohne Rest geteilt werden. Auch wenn unser Taschenrechner bei 11:2 als Ergebnis 5,5 anzeigt, dann ist das für uns keine Lösung. Wir kennen als Grundschüler schließlich noch keine gebrochenen Zahlen. Man muss trotzdem nicht auf das kleine Hilfsmittel verzichten. Allerdings muss man dann sämtliche Lösungen, in denen ein Komma vorkommt, ignorieren. Also nur, wenn beim Teilen kein Komma oder kein Rest rauskommt, haben wir einen Teiler gefunden.
Bei der 11 kann man jedoch ohne Rest nur 11:11 = 1 und 11:1 = 11 rechnen. Daher ist die 11 eine Primzahl.
Primzahlen sind mit einer Ausnahme immer ungerade Zahlen. Die Ausnahme ist die kleinste Primzahl, die 2. Hier lässt sich ohne Rest nur 2:2 und 2:1 rechnen. Das ist ein „Privileg“ der kleinsten Primzahl, dass sie auch eine gerade Zahl sein darf. Immerhin gibt es keine kleineren Zahlen, durch die man die 2 teilen könnte. 
Nicht, dass jemand den Einwand hat, die 0 wäre doch kleiner. Zur Erinnerung: das Teilen durch Null ist ein absolutes Tabu! Und das gilt nicht nur für Grundschüler; das gilt auch für Erwachsene! 
Alle anderen geraden Zahlen sind jedoch mindestens durch 2 teilbar. So ist 4 durch 1, 2 und 4 teilbar. Die 6 hat sogar vier Teiler, nämlich 1, 2, 3 und 6. 
Alle natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen sind, lassen sich jedoch als Produkt von zwei oder mehreren Primzahlen schreiben. Die 6 ist das Produkt aus den Primzahlen 2 und 3, also 2*3 = 6. Die 8 erhält man, wenn man 2*2*2 rechnet. Um auch mal ein Beispiel ohne eine 2 haben: 15 = 3*5.  
Die 2024 in ein Produkt aus Primzahlen zu zerlegen ist etwas komplizierter. Deshalb machen wir es mal schrittweise. 2024 ist offensichtlich durch 2 teilbar: 
2024:2 = 1012. 
Da 1012 auch eine gerade Zahl ist, können wir nochmals durch 2 teilen: 
1012:2 = 506. Und das gleiche noch einmal:
506:2 = 253.

Bei der Aufgabenstellung hatte ich bereits verraten, dass 11 ein Teiler von 2024 ist: 253:11 = 23.
Da 23 eine Primzahl ist, geht es hier nicht mehr weiter. Das Produkt aus Primzahlen, die sogenannte Primfaktorenzerlegung, lautet für 2024 also: 2*2*2*11*23 = 2024.
Neben den Primzahlen 2, 11 und 23 gibt es weitere Teiler. Sie ergeben sich aus zwei oder mehreren Faktoren der Zerlegung in Primzahlen. 
Da die 2 dreimal als Faktor auftritt, sind folglich 2*2 = 4 und 2*2*2 = 8 auch Teiler von 2024. 
Weitere Teiler sind:
 2*11 =  22                  4*11 =   44                       8*11 =    88 
 2*23 =  46                  4*23 =   92                      8*23 =   184 
11*23 = 253            11*23*2 = 506                 11*23*4 = 1012.
Alle Teiler sind jeweils mit blauer Farbe geschrieben. Einige dieser 14 Teiler haben wir bereits in den ersten Schritten als Ergebnisse der Divisionen erhalten. 
Zu diesen 14 Teilern müssen natürlich noch die 1 und die 2024 selbst ergänzt werden, so dass wir auf insgesamt 16 Teiler kommen.   

Hier noch einmal eine Zusammenfassung aller 16 Teiler und der dazugehörigen Quotienten (Ergebnisse beim Teilen):
1.     2024:      1 = 2024
2.     2024:      2 = 1012
3.     2024:      4 =   506
4.     2024:      8 =   253
5.     2024:    11 =   184
6.     2024:    22 =    92
7.     2024:    23 =    88
8.     2024:    44 =    46
9.     2024:    46 =    44
10.     2024:    88 =   23
11.     2024:    92 =    22
12.     2024:  184 =     11
13.     2024:  253 =     8
14.     2024:  506 =     4
15.     2024: 1012 =      2
16.     2024: 2024 =     1 
 

Ein Nachtrag:
Über die Primfaktorenzerlegung kann man für jede beliebige natürliche Zahl ihre sämtlichen Teiler ermitteln. Dabei ist es in unserem Fall relativ einfach gewesen. Schwieriger wird es, wenn bereits der erste Primfaktor eine größere Zahl ist. 
Das Jahr 2021 hätte uns bei gleicher Aufgabenstellung mehr Probleme bereitet. Um systematisch vorzugehen, sollte man dann der Reihe nach mit allen Primzahlen ausprobieren, ob sie als Teiler in Frage kommen. Also beginnend mit 2021:2, weiter mit 2021:3, danach 2021:5, anschließend 2021:7 und 2021:11... Zumindest die ersten drei Aufgaben muss man nicht ausrechnen, denn hier reicht es die Teilbarkeitsregeln anzuwenden.
Die erste Rechnung, die zu einem ganzzahligen Ergebnis führt, wäre in diesem Fall 2021:43 = 47. Da 47 auch eine Primzahl ist, nämlich die nächste nach 43, haben wir dann schon die vollständige Primfaktorenzerlegung: 43*47 = 2021. 
Übrigens gibt es dieses Phänomen, dass die Jahreszahl das Produkt aus zwei aufeinander folgenden Primzahlen ist, nur noch ein weiteres Mal in diesem Jahrtausend. Dabei ist die 47 noch einmal im Rennen. Die nächste Primzahl ist dann die 53. Die ungeraden Zahlen zwischen 47 und 53 haben nämlich jeweils zusätzliche Teiler außer 1 und sich selbst. Das sind 49:7 = 7 und 51:3 = 17 oder umgekehrt 51:17 = 3. Und multipliziert man nun 47 und 53, erhält man 47*53 = 2491. 
Ich befürchte jedoch, diese Jahreszahl werden die wenigsten von uns noch erleben. Erfreuen wir uns deshalb lieber an der aktuellen Jahreszahl 2024. Ob es jedoch ein gutes Jahr wird, hängt wohl weniger von der Zahl ab. Das haben wir zu einem großen Teil selbst in der Hand.
Joachim Krüger